등비수열 합 공식 유도와 증명: 합을 구하는 효율적인 방법

등비수열은 수학에서 매우 중요한 개념으로, 여러 가지 문제를 해결하는 데 유용하게 활용됩니다. 이번 글에서는 등비수열의 합 공식 유도와 증명에 대해 자세히 살펴보고, 이를 바탕으로 수열의 합을 효율적으로 구하는 방법을 소개하겠습니다.

등비수열의 정의

등비수열(Geometric Sequence)이란 각 항이 그 이전 항에 일정한 비율을 곱한 형태로 이루어진 수열을 말합니다. 이 일정한 비율을 공비(Common Ratio)라고 부르며, 수열의 형태는 공비에 따라 달라집니다. 예를 들어, 수열 2, 6, 18, 54, ... 는 공비가 3인 등비수열입니다. 이러한 등비수열의 특징을 잘 이해하는 것이 합 공식을 유도하는 첫걸음입니다.

등비수열 합 공식 유도

등비수열의 합을 구하는 공식은 여러 문제에서 매우 유용하게 쓰입니다. 이를 유도하기 위해 등비수열의 성질을 활용합니다. 등비수열의 첫째 항을 a, 공비를 r, n번째 항까지의 합을 $S_n$이라고 하겠습니다. 이때, 등비수열의 합 $S_n$을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

Sn=a+ar+ar2+⋯+arn−1S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}Sn​=</ span>a+ar+ar2+⋯+arn−1

이 식에서 공비 r을 곱한 식은 다음과 같습니다.

$$r{S}_n=ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^n$$

이제 두 식을 서로 빼주면, 좌변은 $S_n-r{S}_n=a-a{r}^n$이 되고, 이를 정리하면 $S_n(1-r)=a(1-r^n)$이 됩니다. 따라서, 등비수열의 합 공식은 다음과 같이 유도됩니다.

$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

이 공식은 공비가 1이 아닌 경우에만 사용됩니다. 공비가 1인 경우에는 등차수열이 되므로 별도의 합 공식이 필요합니다.

공식의 증명

등비수열 합 공식의 증명은 앞서 유도 과정에서 이미 포함되어 있습니다. 하지만, 다시 한 번 명확히 증명해보겠습니다. $S_n=a+ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}$이라는 식에서 시작하여, 공비 r을 곱한 식과 두 식을 빼는 과정을 통해 최종적으로 $S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$이라는 결과를 얻습니다. 이를 통해 등비수열 합 공식은 증명이 완료됩니다.

실제 문제 적용

이제 등비수열 합 공식을 실제 문제에 적용해보겠습니다. 예를 들어, 첫째 항이 3이고, 공비가 2인 등비수열의 처음 5항의 합을 구한다고 가정해보겠습니다. 첫째 항 $a=3$, 공비 $r=2$, 항의 개수 $n=5$일 때, 공식을 적용하면 다음과 같이 계산됩니다.

$$S_5=\frac{3(1-2^5)}{1-2}=\frac{3(1-32)}{-1}=93$$

따라서, 이 등비수열의 처음 5항의 합은 93입니다.

무한등비수열의 합

무한등비수열의 합도 중요한 개념입니다. 공비의 절댓값이 1보다 작을 때, 무한등비수열의 합은 수렴하게 되며, 그 합 공식은 다음과 같습니다.

$$S=\frac{a}{1-r}$$

예를 들어, 첫째 항이 4이고 공비가 0.5인 무한등비수열의 합을 구해보겠습니다. 첫째 항 $a=4$, 공비 $r=0.5$일 때, 공식을 적용하면 다음과 같이 계산됩니다.

$$S=\frac{4}{1-0.5}=8$$

따라서, 이 무한등비수열의 합은 8입니다.

결론

등비수열의 합 공식을 유도하고 증명하는 과정은 수학적으로 매우 의미가 있으며, 이를 통해 다양한 문제를 효과적으로 해결할 수 있습니다. 이러한 공식들은 금융, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서도 중요한 역할을 합니다. 특히, 무한등비수열의 합 공식은 많은 실제 응용 사례에서도 활용됩니다.

등비수열 합 공식을 이해하고 문제에 적용하는 방법을 익힌다면, 수학적 사고력을 키우고 문제 해결 능력을 크게 향상시킬 수 있을 것입니다. 이상으로 등비수열 합 공식 유도와 증명에 대한 안내를 마칩니다.